Los grupos y álgebras de Lie aparecen naturalmente en el estudio de diversos problemas geométricos en variedades. Estos grupos de Lie pueden verse como grupos de simetrías de un espacio (pseudo)riemanniano, como grupos que dejan invariante una cierta estructura geométrica o un operador diferencial, pero también pueden estar equipados con estructuras adicionales que los hacen objetos de estudio interesantes en sí mismos, desde un punto de vista geométrico-analítico o puramente algebraico.
En este proyecto, nos enfocaremos en el estudio de grupos de Lie que aparecen:
1) como espacios (pseudo)riemannianos asociados a una métrica invariante a izquierda, en particular los grupos de Lie de dimensión 3 o grupos de Lie 2-pasos nilpotentes;
2) como grupos de isometrías de variedades homogéneas pseudoriemannianas;
3) asociados a ciertos espacios homogéneos que fibran sobre espacios simétricos de tipo compacto;
4) como grupos de holonomía de la conexión normal de subvariedades de formas espaciales complejas;
5) como el espacio ambiente donde naturalmente se estudian ciertos operadores diferenciales y sus soluciones fundamentales, o más generalmente, como es el caso del grupo de Heisenberg de dimensión 2n + 1 y el operador pseudodiferencial L + s|T|, en donde L es el laplaciano y T el operador central.
Además se estudiarán restricciones a nivel del álgebra de Lie para la existencia de ciertos tensores invariantes por la representación adjunta, que incluyen las métricas pseudoriemannianas y las estructuras simplécticas ad-invariantes.
